всероссийская олимпиада школьников задания ответы

Муниципальный этап 2021 олимпиада по математике задания и ответы для 6-11 класса ВСОШ

Автор

ПОДЕЛИТЬСЯ

Олимпиада по математике муниципальный этап 2021-2022 официальные задания, решения и ответы для 6,7, 8, 9, 10, 11 класса. Официальная всероссийская олимпиада школьников ВСОШ прошла в Московской области 13 ноября 2021 года.

Скачать задания и ответы

Муниципальный этап 2021 олимпиады по математике 6-11 класс задания и ответы:

1)Найдите самое маленькое число, у которого все цифры различны, сумма первых двух цифр (слева) делится на 2, сумма первых трёх цифр делится на 3, сумма первых четырёх цифр делится на 4, первых пяти цифр делится на 5, первых шести цифр делится на 6.

2)В Солнечном городе 5 коротышек едят пончики ежедневно, 7 коротышек едят пончики через день, а остальные вообще не едят пончики. Вчера 9 коротышек ели пончики. Сколько коротышек будут есть пончики сегодня?

3)Бегун пробежал в первом забеге два круга по стадиону со скоростью v за 4 минуты. Во второй раз он пробежал первый круг со скоростью p, а второй круг со скоростью v/2 и потратил на второй забег 5 минут. Найдите отношение v : p.

4)На болоте по кругу расположены 6 кочек, соединенных дорожками так, как показано на рисунке. На каждой дорожке сидело несколько лягушек (не обязательно равное количество). Затем каждая лягушка поймала на своей дорожке по 10 мух, и положила по 5 мух на каждую из двух кочек, которые соединяла ее дорожка. На пяти кочках указано, сколько мух на них оказалось в итоге. Сколько мух могло оказаться на шестой кочке?

5)Заметим, что каждая лягушка положила по 5 мух на одну белую и на одну серую кочку. Это значит, что суммарное количество мух, оказавшихся на серых кочках равно количеству мух, оказавшихся на белых кочках (а также в 5 раз больше общего количества лягушек). 1) 85 + 40 + 55 = 180 (мух) – всего; 2) 180 − 50 − 65 = 65 – на шестой кочке.

6)За круглый стол сели 9 человек – лжецы и рыцари. Лжецы всегда лгут, а рыцари всегда говорят правду. Каждому из них дали по монете. Затем каждый из сидящих передал свою монету одному из двух своих соседей. После чего каждый сказал: «У меня монет больше, чем у соседа справа». Какое наибольшее число рыцарей могло сидеть за столом?

7)Числа 1, 2, 3, 4, 5, 6 записали в каком-то порядке и обозначили их буквами a, b, c, d, e, f. Может ли выполняться равенство (a − 1)(b − 2)(c − 3)(d − 4)(e − 5)(f − 6) = 75 ?

8)В Солнечном городе 6 коротышек едят пончики ежедневно, 8 коротышек едят пончики через день, а остальные вообще не едят пончики. Вчера 11 коротышек ели пончики. Сколько коротышек будут есть пончики сегодня?

9)У Васи и Миши телефоны показывают 15% заряда. А через час у Васи – 11%, у Миши – 12%. Может ли телефон Миши разрядиться раньше телефона Васи, если телефоны разряжаются равномерно, а показываемый процент заряда – это округленное до целых значение заряда?

10)Даны девять карточек, на которых написаны числа 5, 5, 6, 6, 6, 7, 8, 8, 9. Из этих карточек сложили три трёхзначных числа A, B, C, у каждого из которых все три цифры разные. Какое наименьшее значение может быть у выражения A + B − C?

11)За круглый стол сели 10 человек – лжецы и рыцари. Лжецы всегда лгут, а рыцари всегда говорят правду. Каждому из них дали по монете. Затем каждый из сидящих передал свою монету одному из двух своих соседей. После чего 5 человек сказали: «У меня одна монета», а остальные 5 сказали: «У меня нет монет». Какое наибольшее число рыцарей могло сидеть за столом?

12)Чему равна сумма цифр числа A = 1050 − 1040 + 1030 − 1020 + 1010 − 1 ?

13)Найдите наибольшее натуральное число, все цифры которого различны, при этом такое, что сумма любых двух его цифр — простое число.

14)У Васи и Миши телефоны показывают 15% заряда. А через час у Васи – 11%, у Миши – 12%. Может ли телефон Миши разрядиться раньше телефона Васи, если телефоны разряжаются равномерно, а показываемый процент заряда – это целая часть значения заряда? Целая часть числа A – это наибольшее целое число, не превосходящее A.

15)Дан прямоугольный треугольник ABC (AB – гипотенуза). На большем катете AC треугольника ABC выбрана точка K так, что AK = BK. Пусть CH – высота треугольника ABC, и точка M симметрична точке B относительно точки H. Докажите, что отрезки BK и CM перпендикулярны.

16)За круглый стол сели 10 человек – лжецы и рыцари. Лжецы всегда лгут, а рыцари всегда говорят правду. Каждому из них дали по монете. Затем каждый из сидящих передал свою монету одному из двух своих соседей. После чего каждый сказал: «У меня монет больше, чем у соседа справа». Какое наибольшее число рыцарей могло сидеть за столом?

17)Если из дискриминанта трехчлена f(x) = ax2 + 2bx + c вычесть дискриминант трехчлена g(x) = (a + 1)x 2 + 2(b + 2)x + c + 4, то получится 24. Найдите f(−2).

18)За круглый стол сели 6 человек – лжецы и рыцари. Лжецы всегда лгут, а рыцари всегда говорят правду. Каждому из них дали по монете. Затем каждый из сидящих передал свою монету одному из двух своих соседей. После чего 3 человек сказали: «У меня одна монета», а остальные 3 сказали: «У меня нет монет». Какое наибольшее число рыцарей могло сидеть за столом?

19)На доске написано N простых чисел (не обязательно различных). Оказалось, что сумма любых трех чисел на доске — тоже простое число. При каком наибольшем N это возможно?

20)Вася вырезал из картона треугольник и занумеровал его вершины цифрами 1, 2 и 3. Оказалось, что если Васин треугольник повернуть по часовой стрелке вокруг его вершины под номером 1 на угол равный углу при этой вершине 15 раз, то треугольник вернется в исходное положение. Если повернуть по часовой стрелке Васин треугольник вокруг его вершины под номером 2 на угол равный углу при этой вершине 6 раз, то треугольник вернется в исходное положение. Вася утверждает, что если повернуть его треугольник вокруг вершины под номером 3 на угол равный углу при этой вершине n раз, то треугольник вернется в исходное положение. Какое минимальное n мог назвать Вася так, чтобы его утверждение было правдивым хотя бы при каком-то картонном треугольнике?

21)В прямоугольном неравнобедренном треугольнике ABC с прямым углом C проведена биссектриса CL. Точка K выбрана на гипотенузе этого треугольника так, что AL = BK. Перпендикуляр к AB, проходящий через точку K, пересекает луч CL в точке N. Докажите, что KN = AB.

22)Чему равна сумма цифр числа A = 10040 − 10030 + 10020 − 10010 + 1 ?

23)Множество M состоит из произведений пар последовательных натуральных чисел: 1 · 2, 2 · 3, 3 · 4, . . . . Докажите, что сумма некоторых двух элементов множества M равна 2 2021 .

24)Даны три квадратных трехчлена f(x) = ax2+bx+c, g(x) = bx2+cx+a, h(x) = cx2+ ax+b, где a, b, c – различные ненулевые действительные числа. Из них составили три уравнения f(x) = g(x), f(x) = h(x), g(x) = h(x). Найдите произведение всех корней этих трех уравнений, если известно, что каждое из них имеет по два различных корня

25)На продолжении стороны AC треугольника ABC за точку C выбрана точка D. Пусть S1 – окружность, описанная около треугольника ABD, S2 – окружность, описанная около треугольника CBD. Касательная к окружности S1, проходящая через точку A, и касательная к окружности S2, проходящая через точку C, пересекаются в точке P. Докажите, что точка P лежит на окружности, описанной около треугольника ABC.

26)Дан «скелет» клетчатого квадрата 10 × 10 (то есть множество из вертикальных и горизонтальных отрезков, делящих квадрат на квадратики со стороной 1, включая границу квадрата). И этот скелет разбили на уголки (из двух единичных отрезков) и отрезки длины 2 (тоже из двух единичных отрезков). Могло ли «отрезков длины 2» быть ровно 21?

27)Из трёхзначного числа A, не содержащего в записи нулей, получили двухзначное число B, записав вместо первых двух цифр их сумму (например, число 243 превращается в 63). Найдите A если известно, что A = 3B.

28)Для числа x выполняются неравенства sin x < cos x 2 < 0. Докажите, что cos x < 1 2 .

29)В треугольной пирамиде SABC проведены высоты AA1 и BB1. Известно, что отрезок A1B1 параллелен ребру AB. Докажите, что некоторые две грани пирамиды имеют одинаковые площади.

30)Прямые l : y = kx + b, l1 : y = k1x + b1 и l2 : y = k2x + b2 касаются гиперболы y = 1 x . Известно, что b = b1 + b2. Докажите, что k ≥ 2(k1 + k2).

31)Дано натуральное число K > 2 и набор из N карточек, на которых написаны положительные числа. Оказалось, что из них можно выбрать несколько карточек (возможно, одну) с суммой чисел K, несколько карточек с суммой чисел K2 , . . . , несколько карточек с суммой чисел KK. Могло ли оказаться, что N < K?

Другие олимпиады муниципального этапа 2021 задания и ответы:

Муниципальный этап 2021-2022 всероссийской олимпиады школьников задания и ответы

guest
0 комментариев
Inline Feedbacks
View all comments